Dos regularidades de los primos que se pueden predecir

Contexto

Si los primos cayeran al azar con su densidad conocida, 1/ln x, el número de primos en un intervalo se comportaría como una variable de Poisson: su varianza sería igual a su media. Eso es lo que da el modelo de Cramér, y para intervalos muy cortos, del orden de ln x, es lo que se espera que ocurra [4].

En intervalos más largos no ocurre. Montgomery y Soundararajan [1] mostraron, suponiendo una forma fuerte de la conjetura de Hardy y Littlewood [2], que en un intervalo de longitud H la varianza se reduce de H·ln x a H·ln(x/H): los primos se reparten de forma más pareja que un sorteo. Si H = x^δ, la varianza es una fracción 1 − δ de la del azar.

En este proyecto miramos un intervalo concreto: el que va de n² a (n + 1)², que en el girasol de Vogel [7] es el anillo entre dos radios enteros consecutivos. Ahí H = 2n y x = n², es decir δ = ½. La conjetura de Legendre dice que ese intervalo nunca se queda sin primos.

Llamamos variación relativa, V, a la varianza de un conteo dividida entre su media. Para un proceso de Poisson, V = 1. Todo lo que sigue son valores de V menores que 1.

Lo que ya se sabía: primos por anillo

Para los primos del anillo n, el Teorema 3 de [1] da la fórmula de abajo, con la constante 1 − γ − ln 2π leída en el punto x = n². La comprobamos hasta el anillo 3·10⁶ (números de casi diez billones): en 90 000 anillos seguidos los conteos se comportan como una campana de Gauss con esa varianza.

El teorema cubre intervalos de longitud hasta √x y el anillo mide 2√x, justo en el borde; usarlo ahí es una extrapolación que las mediciones respaldan. Este resultado no es nuestro: es el punto de partida.

Resultado 1 · Pares de primos gemelos en intervalos cortos

Enunciado

Sea T el número de pares de primos gemelos (p, p + 2) con p en el intervalo de n² a (n + 1)². Al variar n, la variación relativa de T es menor que 1 y sigue la fórmula de abajo, que tiende a 7/8.

De dónde sale

La media de T la da la conjetura de Hardy y Littlewood para pares: 𝔖₂·H/ln² x, con 𝔖₂ = 2C₂ ≈ 1.32032 y H = 2n.

Para la varianza hace falta saber con qué frecuencia dos pares de gemelos aparecen a distancia h uno del otro, es decir, con qué frecuencia p, p + 2, p + h y p + h + 2 son primos a la vez. Hardy y Littlewood dan esa frecuencia como 𝔖₄(h)/ln⁴ x, donde 𝔖₄(h) es la serie singular de la cuádrupla (0, 2, h, h + 2). Si los pares fueran independientes sería 𝔖₂²; la diferencia es la correlación.

Sumando sobre todas las distancias dentro del intervalo queda la expresión de abajo. Es el mismo cálculo que hacen Montgomery y Soundararajan para primos [1], un nivel más arriba: allá intervienen series singulares de dos primos y aquí de cuatro.

La suma no tiene, que sepamos, una forma cerrada. La evaluamos numéricamente para H desde 10³ hasta 2·10⁷ y se comporta como un polinomio de segundo grado en ln H. Sustituirlo da la fórmula final. Sus tres coeficientes salen de ese cálculo con series singulares; ninguno se ajustó a conteos de primos.

El coeficiente principal de la suma, dividido entre 𝔖₂, debería ser −¼ si la regla de abajo es cierta. Al extender el cálculo hasta H = 2·10⁸ las segundas diferencias dan −0.253 en promedio.

Comprobación

39 000 anillos seguidos, del 1 000 al 40 000

Desviación típica medida entre la predicha: 0.999. Los anillos raros aparecen con la frecuencia de una campana de Gauss.

26 tramos alrededor del anillo 10⁶

Medido 0.806 ± 0.007; la fórmula da 0.807.

Pares a distancia 6 en lugar de 2

Hay que sumar el término de la terna (p, p + 6, p + 12), que sí puede ocurrir. Predicho 0.86; medido 0.859 ± 0.011.

Intervalos que no empiezan en un cuadrado

Recorriendo el intervalo 1, 9, 49, 99 o 999 lugares, o medio anillo, la variación medida entre los anillos 1 000 y 20 000 no cambia: 0.73–0.78 para los gemelos (la fórmula da 0.74–0.77) y 0.36–0.40 para los primos (0.36–0.39). El resultado no depende de los cuadrados.

Anillos del 35 al 999, calculado en esta página

Las tres barras de la gráfica: 63, 67 y 71 %; la fórmula da 60, 67 y 71 % en el centro de cada banda.

Otras tuplas de primos

El mismo cálculo sirve para cualquier patrón de primos: se cambia la cuádrupla por la tupla doble que corresponda y, cuando dos copias del patrón pueden compartir un primo, se suma el término de ese traslape. Lo probamos con pares a distancia 4 y 6 y con dos patrones de ternas, usando la suma exacta para cada anillo en lugar de la fórmula ajustada.

Las cinco predicciones caen dentro del error de medición o a menos de dos veces de él. Para las ternas la variación es de 0.92 a 0.96: están más cerca del azar que los pares, como pide la regla, aunque esto no alcanza para fijar el límite.

Auditoría

Antes de publicar esta página repetimos todo con código escrito de nuevo. La criba coincide exactamente con las tablas publicadas: 78 498, 664 579 y 5 761 455 primos y 8 169, 58 980 y 440 312 pares de gemelos por debajo de 10⁶, 10⁷ y 10⁸.

La suma de series singulares, calculada por otro camino (factores locales con división por tentativa), da los mismos valores. La fórmula ajustada se aparta de la suma exacta menos de 0.006 entre los anillos 1 000 y 20 000. Y midiendo con la media teórica en lugar de la media de los anillos vecinos, la variación de los gemelos sale 0.729, 0.770 y 0.775 en tres bandas, donde la suma exacta da 0.746, 0.763 y 0.776.

El límite y la regla

Como el coeficiente principal es −¼·𝔖₂, la fórmula tiende a 1 − ⅛·(ln H / ln n)². Con H = x^δ eso es 1 − δ²/2, y para el anillo (δ = ½) da 7/8. Lo calculamos también para pares a distancia 4, 6 y 30, con el mismo límite.

La convergencia es muy lenta: 0.81 cerca de 10⁶, 0.83 cerca de 10⁹, 0.86 cerca de 10²⁰. El límite no se puede medir directamente; lo que se puede medir es la fórmula completa, con sus términos de orden inferior.

Para primos la regla es 1 − δ [1]; para pares, 1 − δ²/2. Para ternas sería 1 − δ³/6, pero el cálculo no alcanzó a decidirlo: el coeficiente que debería valer −0.083 sale entre −0.064 y −0.128 según el tramo.

Resultado 2 · Primos sobre las curvas n² + k

Enunciado

Sea T(k) el número de primos de la forma n² + k con n en un tramo de N a F·N. La conjetura de Bateman y Horn [3] dice que T(k) vale, en promedio, C(k)·X, donde C(k) es una constante que depende de k y X la suma de 1/ln n² sobre el tramo. Al variar k, T(k) se aparta de esa cuenta menos que un sorteo: la variación relativa es 0.40–0.43 para F = 2, no depende de N y baja al crecer F.

Por qué curvas

En la espiral de Sacks (radio √v y una vuelta por cada cuadrado) los cuadrados quedan en fila y los primos se juntan a lo largo de curvas. Cada una de esas curvas es un polinomio n² + k o n² + n + k. La más conocida es la de Euler, n² + n + 41, cuyos primeros 40 valores son todos primos.

Bateman y Horn [3, 5] predicen cuántos primos tiene cada curva. Hay resultados demostrados de que casi toda curva tiene los primos esperados [6]; eso habla de la media. Aquí preguntamos por la varianza: cuánto se apartan.

De dónde sale

Dos valores de la misma curva, n² + k y m² + k, están a distancia m² − n². Al promediar sobre k, la conjetura de Hardy y Littlewood para pares dice que los dos son primos con frecuencia 𝔖(m² − n²)/(ln n²·ln m²), donde 𝔖(h) es la serie singular de los pares a distancia h (vale 0 si h es impar).

Por otro lado, la predicción de Bateman y Horn para cada curva ya explica parte de esa correlación a través de C(k). Lo que explica es el segundo momento de las constantes, c₂ = E[C(k)²], que se calcula como un producto sobre los primos.

Al restar una cosa de la otra queda la expresión de abajo. El promedio de 𝔖(m² − n²) sobre los pares (n, m) es exactamente c₂, primo a primo, así que el término principal se cancela. Lo que sobra es negativo, y eso es la regularidad.

La suma se evalúa numéricamente; no tenemos una forma cerrada. A diferencia del caso de los gemelos, aquí no hay ningún ajuste intermedio: la predicción es la suma tal cual.

Comprobación

Según el largo del tramo

Medido sobre 3 000 curvas (k de 1 a 3 000), con N entre 1 000 y 8 000; el error de cada medición es de ≈ 0.01. La diferencia media entre predicho y medido es −0.008.

Según el tamaño, con el tramo fijo de N a 2N

Hasta 1 000 curvas por fila. Esta tabla usa un promedio ligeramente distinto (la varianza de la desviación de cada curva dividida entre su propia cuenta esperada), que da valores ≈ 0.01 mayores que el de la tabla anterior. La predicción para tramos de N a 2N va de 0.40 a 0.43 según N.

Otras familias de curvas

La derivación no usa nada propio de n² + k, así que la repetimos con n² + n + k y con 2n² + k, con código nuevo. En las tres la predicción, promediada sobre 21 tamaños vecinos, coincide con lo medido a menos de 0.01. Hay una salvedad que conviene decir: evaluada en un tramo exacto, la predicción oscila según dónde empieza y termina el tramo (la columna «oscilación»), mientras que lo medido es estable. No entendemos del todo esa sensibilidad a los extremos; por eso comparamos promedios.

Calculado en esta página

Con 1 000 curvas y n hasta 1 000, para tramos de 800 a 1 000, de 500 a 1 000 y de 250 a 1 000: medido 47, 36 y 29 %; predicho 46, 37 y 31 %.

En una primera comparación la predicción quedaba 0.02–0.04 por debajo de lo medido. El error era nuestro: medíamos con un promedio y predecíamos con otro. Con el mismo promedio en los dos lados la diferencia desaparece. Lo dejamos anotado porque es el tipo de error que un revisor debería buscar.

Qué falta y qué podría estar mal

No sabemos si es nuevo.

Buscamos en buscadores generales y en arXiv, no en MathSciNet ni zbMATH. Es posible que estos cálculos existan en un artículo o una tesis que no encontramos, o que para un especialista sean un ejercicio conocido.

Todo es condicional.

Las dos predicciones suponen las conjeturas de Hardy–Littlewood y Bateman–Horn con términos de error pequeños. No demostramos nada; comprobamos numéricamente que las consecuencias se cumplen.

El anillo está en el borde.

El teorema de [1] vale para intervalos de longitud hasta √x; el anillo mide 2√x. Para pares no conocemos ningún teorema equivalente: aplicamos el mismo razonamiento sin esa garantía.

La fórmula de los gemelos tiene un ajuste intermedio.

Los coeficientes 0.1216, 0.7563 y 0.215 vienen de ajustar un polinomio a la suma de series singulares. El primero debería ser exactamente ⅛ y el ajuste da 0.1216; los otros dos no sabemos expresarlos en forma cerrada.

Faltan formas cerradas.

Ni la suma de los gemelos ni la de las curvas están resueltas analíticamente. En el caso de [1] el término secundario se obtiene con un análisis que aquí no hicimos.

El cómputo es propio.

Cribas y sumas escritas para este proyecto, en doble precisión. Se cruzaron con tablas externas solo los conteos de primos y de gemelos en rangos pequeños.

Lo que nos gustaría saber de un revisor

1. ¿Está publicada la varianza de los pares de primos en intervalos cortos, o la regla 1 − δ²/2?
2. ¿Está publicada la varianza, al promediar sobre k, del número de primos n² + k?
3. ¿Es legítimo leer el Teorema 3 de [1] en H = 2√x? ¿Aparece algún término adicional en ese borde?
4. ¿Tienen forma cerrada las dos sumas?

Referencias

1. [1]H. L. Montgomery, K. Soundararajan. Primes in short intervals. Communications in Mathematical Physics 252 (2004), 589–617 · arXiv:math/0409258.
2. [2]G. H. Hardy, J. E. Littlewood. Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes. Acta Mathematica 44 (1923), 1–70.
3. [3]P. T. Bateman, R. A. Horn. A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers. Mathematics of Computation 16 (1962), 363–367.
4. [4]P. X. Gallagher. On the distribution of primes in short intervals. Mathematika 23 (1976), 4–9.
5. [5]S. L. Aletheia-Zomlefer, L. Fukshansky, S. R. Garcia. The Bateman–Horn conjecture: heuristics, history, and applications. Expositiones Mathematicae 38 (2020) · arXiv:1807.08899.
6. [6]F. Balestrieri, N. Rome. Average Bateman–Horn for Kummer polynomials. Acta Arithmetica 207 (2023) · arXiv:2005.11835.
7. [7]H. Vogel. A better way to construct the sunflower head. Mathematical Biosciences 44 (1979), 179–189.