Buscamos patrones de números primos en las semillas de un girasol

1Los gemelos también son más parejos que el azar

El más firme: una fórmula que sale del cálculo, acierta a tres cifras y no encontramos publicada.

• Idea ya conocida
• Falta comprobación

Qué se ve

Repetimos con los pares de primos gemelos la medición que hicimos con los primos: cuánto cambia su número de un anillo a otro. También varían menos que al azar, pero la diferencia es mucho menor: entre el 71 % y el 90 % de la variación del azar según el tramo, desde el anillo 300 hasta el 3 000 000, y sube despacio con el radio: 81 % cerca del anillo un millón. Para pares a distancia 6 ronda el 86 %.

Por qué pasa

Sale de las fórmulas de Hardy y Littlewood aplicadas a cuatro primos a la vez: dos pares de gemelos no pueden estar pegados (entre tres impares seguidos uno es múltiplo de 3), y esa repulsión los reparte mejor que un sorteo. Calculamos la predicción y da de 71 % en el anillo 450 a 81 % en el anillo 1 500 000; lo medido en ocho tramos queda a menos de 5 puntos de ella. La fórmula de arriba resume ese cálculo: sus tres números salen de ajustar la suma de Hardy y Littlewood, no de los datos. Las dos pruebas más exigentes: en los 39 000 anillos del 1 000 al 40 000, la desviación medida es 0.999 de la que da la fórmula y los anillos raros aparecen con la frecuencia de una campana de Gauss; y 26 tramos alrededor del anillo un millón dieron 0.806 ± 0.007, donde la fórmula predice 0.807. Para pares a distancia 6 hay que sumar un término más, porque tres primos sí pueden ir en fila (p, p + 6, p + 12): la predicción da 0.86 y medimos 0.859 ± 0.011. Según el cálculo, la variación sigue subiendo muy despacio y se detiene cerca del 88 %, quizá exactamente 7/8, para pares a cualquier distancia (lo calculamos para 2, 4, 6 y 30); la de los primos, en cambio, tiende a la mitad. Ese límite es lo que falta comprobar: está demasiado lejos para medirlo. Si el intervalo mide x elevado a δ, apunta a una regla: la variación tiende a 1 − δ para los primos, que es justo lo que dice el artículo de Montgomery y Soundararajan, y a 1 − δ²/2 para los pares, que no encontramos publicado (buscamos, sin ser exhaustivos). Para ternas de primos el cálculo numérico no alcanza para decidir si sigue el patrón (sería 1 − δ³/6), aunque un argumento sobre cómo se suman los divisores apunta a que sí.

2Sobre las curvas de la espiral de Sacks, los primos también son más parejos que el azar

Predicción sin ajustar nada que coincide con lo medido y tampoco encontramos publicada; le falta una fórmula cerrada.

• Idea ya conocida
• Falta comprobación

Qué se ve

Cada curva de la espiral de Sacks es un polinomio n² + k, y la conjetura de Bateman y Horn dice cuántos primos debe tener. Medimos cuánto se aparta cada curva de esa cuenta. Contando los primos con n entre N y 2N, la variación es el 42 % de la del azar, y no cambia con el tamaño: da lo mismo de N = 3 000 a N = 300 000. Sí cambia con el largo del tramo: 47 % de N a 1.25 N, 37 % de N a 4N y 31 % de N a 32N.

Por qué pasa

Lo calculamos con las fórmulas de Hardy y Littlewood, sin ajustar ningún número. Dos valores de una misma curva, n² + k y m² + k, están a distancia m² − n²; esas fórmulas dicen qué tan probable es que los dos sean primos según los divisores de esa distancia. Al sumar sobre todos los pares, lo que domina se cancela exactamente con lo que ya explica la constante de cada curva, y el resto, que es negativo, es la regularidad. La predicción da 40 a 43 % para tramos de N a 2N (medimos 41 a 43 %) y baja al alargar el tramo igual que lo medido: 47, 45, 37, 36, 33 y 33 % donde medimos 47, 44, 37, 34, 33 y 31 %, con un error de un punto en cada medición. En una primera comparación la predicción quedaba 2 a 4 puntos por debajo; era culpa nuestra, porque promediábamos las curvas de una manera al medir y de otra al predecir. Con el mismo promedio la diferencia desaparece. Buscamos si esto estaba publicado y no lo encontramos: lo que hay son resultados sobre el promedio (casi toda curva tiene los primos esperados), no sobre cuánto se apartan. No tenemos una fórmula cerrada, solo la suma.

3Una fórmula predice qué tan parejos son los anillos

La base de todos los demás, comprobada hasta números de diez billones; la idea ya estaba publicada.

• Idea ya conocida

Qué se ve

El número de primos cambia de un anillo a otro mucho menos que si cayeran al azar. Esa variación, como fracción de la del azar, sigue la fórmula ½ − 1.054 / ln n. Primero la medimos: el ajuste con anillos hasta el 10 000 dio 1.05. Después la probamos en once tramos separados entre el anillo 100 000 y el 3 000 000, y acertó en diez. También vale para otros grosores: para un intervalo de ancho λ·n la constante es ½ (ln λ + γ + ln 2π − 1), que sube 0.35 cada vez que se duplica el ancho; medimos 0.33.

Por qué pasa

Es lo que predice un resultado conocido sobre primos en intervalos cortos (Montgomery y Soundararajan, 2004). Lo cotejamos con el artículo original: su Teorema 3 da la variación en cada punto con la constante 1 − γ − ln 2π, y de ahí sale el 1.054 de los anillos. Al principio no nos cuadraba: nos salía 1.55. El error era nuestro, porque usábamos la versión promediada desde cero, que no lleva ese 1. Dos salvedades: el teorema depende de una forma fuerte de la conjetura de Hardy y Littlewood, que no está demostrada, y cubre intervalos de ancho hasta √N; los anillos miden 2√N, justo en el borde, así que aplicarlo ahí es una extrapolación que nuestras mediciones respaldan. Lo nuestro es haberlo visto cumplirse anillo por anillo. Uno de los once tramos, el del anillo un millón, se desvió; al medir 26 tramos alrededor de ese anillo la constante promedió 1.15 ± 0.07, compatible con la teoría, así que fue una oscilación normal. Tampoco depende de que el intervalo empiece en un cuadrado: recorriéndolo 1, 9, 49, 99 o 999 lugares, o medio anillo, la variación medida entre los anillos 1 000 y 20 000 queda entre 36 % y 40 %, donde la fórmula da 36 % a 39 %.

4Qué tan lejos está cada anillo de quedarse vacío

Convierte la regularidad en una medida de qué tan lejos está Legendre de fallar; es un argumento, no una prueba.

• Idea ya conocida
• Falta comprobación

Qué se ve

Con la fórmula de la variación, la cantidad de primos por anillo se comporta como una campana de Gauss. Lo probamos en los 90 000 anillos que van del 10 000 al 100 000: la desviación medida es 1.000 de la predicha, y los anillos raros aparecen justo con la frecuencia de la campana (237 a más de 3 desviaciones, contra 243 esperados; 5 a más de 4, contra 5.7). Con los medios anillos de Oppermann pasa lo mismo. Eso permite predecir el peor anillo de cada tramo, con un error de 1 a 6 %, y medir el margen de cada conjetura. Legendre: un anillo vacío estaría a 7 desviaciones en el anillo 35, a 20 en el 1 000 y a más de 400 en el anillo un millón. Oppermann: 4, 13 y 284. Brocard, en su peor caso: 12 y 31 en los dos primeros.

Por qué pasa

Si los anillos siguen una campana, la probabilidad de que uno quede vacío cae a toda velocidad: de 1 entre un billón en el anillo 35 a un número con 92 ceros en el anillo 1 000. Es un argumento de por qué Legendre, Oppermann y Brocard deberían ser ciertas, no una demostración: comprobamos la campana hasta 4.5 desviaciones, y las conjeturas viven mucho más lejos en la cola, donde nadie ha probado que siga valiendo. La idea de tratar los primos en intervalos cortos como una distribución normal ya era conocida.

5Desde el anillo 123, todos tienen primos gemelos

Una regla exacta y fácil de enunciar, pero solo comprobada hasta el anillo 40 000.

• Idea ya conocida
• Falta comprobación

Qué se ve

Solo doce anillos no contienen ningún par de primos gemelos: 1, 9, 19, 26, 27, 30, 34, 39, 49, 53, 77 y 122. Del 123 al 40 000 no encontramos ninguno más. Es como la conjetura de Legendre, pero para gemelos. Con la fórmula de su variación se puede medir el margen: un anillo sin gemelos estaría a 2.3 desviaciones en el anillo 122 (por eso todavía ocurre), a 4.4 en el 1 000, a 10 en el 10 000 y a 65 en el anillo un millón.

Por qué pasa

Los pares de gemelos por anillo crecen sin parar (unos 14 en el anillo 1 000, unos 3 500 en el anillo un millón) y su número varía menos que al azar, así que quedarse en cero es cada vez más improbable. Que el anillo 122 sea el último no está demostrado: implicaría que hay infinitos primos gemelos, que es uno de los problemas de Landau. La lista de anillos sin gemelos ya había sido observada; lo nuestro es el margen. El 122 es propio de los cuadrados: si el intervalo se recorre entre 1 y 99 lugares, el último anillo sin gemelos cae entre el 53 y el 162, y hay de 9 a 17 en total (comprobado hasta el anillo 5 000). La regla general es que dejan de aparecer pronto, no el número exacto.

6Qué tan lejos está cada par de quedarse sin descomposición

El margen es enorme, pero la variación se apoya en una recta ajustada, sin ley detrás.

• Idea ya conocida
• Falta comprobación

Qué se ve

Para cada par contamos de cuántas formas es suma de dos primos y lo comparamos con la fórmula de Hardy y Littlewood. La diferencia se comporta como una campana de Gauss muy estrecha: su variación es entre el 20 % y el 33 % de la del azar, desde pares de diez mil hasta pares de trescientos millones, y crece despacio con el tamaño. Con eso se puede medir el margen de Goldbach: un par sin ninguna descomposición estaría a 23 desviaciones cerca de 10 000, a 55 cerca de 100 000, a 131 cerca de un millón, a 327 cerca de diez millones y a unas 1 300 cerca de trescientos millones.

Por qué pasa

Los pares tienen cada vez más descomposiciones (unas 100 cerca de diez mil, unas 29 000 cerca de diez millones) y su número se aparta poco de lo predicho, así que el cero queda cada vez más lejos. Es un argumento de por qué Goldbach debería ser cierta, no una demostración: la fórmula es una conjetura, la campana solo la comprobamos en lo que medimos y no tenemos una ley para cómo crece la variación. Lo que sí hicimos fue ponerla a prueba: con las mediciones hasta diez millones ajustamos una recta y con ella predijimos 30 % y 32 % para cien y trescientos millones; medimos 33 % en ambos, dentro del error de la medición (unos 3 puntos). También separamos los pares con pocas descomposiciones esperadas, que son los que podrían fallar: varían apenas uno o dos puntos más que el resto, así que el margen no cambia. La idea de fondo ya era conocida.

7Los números afortunados son todavía más parejos que los primos

Solo es una medición: no tenemos fórmula ni explicación completa.

• Falta comprobación

Qué se ve

Los números afortunados salen de una criba parecida a la de los primos, pero que elimina por posición y no por divisibilidad: 1, 3, 7, 9, 13, 15, 21… Tienen casi la misma densidad que los primos y casi tantos gemelos. Medimos cuánto cambia su número de un anillo a otro: alrededor del 27 % de lo que cambiaría al azar, del anillo 100 al 6 400, sin subir con el radio. Los primos, en los mismos anillos, van del 30 % al 38 %. Y ningún anillo se queda sin afortunados: la conjetura de Legendre también se cumple para ellos hasta donde miramos.

Por qué pasa

Parece que la regularidad no es exclusiva de los primos, sino algo que producen las cribas: una criba reparte a sus supervivientes mejor que un sorteo. Lo pusimos a prueba con los mismos anillos. Un sorteo con la densidad de los primos da entre 93 % y 101 %, es decir, nada de regularidad. Una criba como la de los primos, pero en la que cada primo elimina una clase de residuos elegida al azar, da entre 24 % y 32 %: tan pareja como los primos de verdad. No tenemos una fórmula para los afortunados ni encontramos una predicción publicada, y la medición usa una media estimada con los anillos vecinos, no una exacta. Un dato más para buscar esa fórmula: medimos intervalos de otros anchos, de un cuarto de anillo a dieciséis anillos. La variación baja al ensanchar el intervalo, igual que con los primos pero más o menos vez y media más rápido (de 48 % a 11 % cerca del anillo 4 500; los primos van de 50 % a 26 %), y casi no cambia con el radio.

1Ningún anillo se queda sin primos

Es la conjetura de Legendre vista en el girasol, y de aquí salieron los hallazgos medios.

Qué se ve

Los cuadrados caen en radios enteros. Entre dos radios consecutivos siempre hay primos, y cada anillo tiene más que el anterior.

Por qué pasa

El radio de una semilla es la raíz de su número, así que el anillo n contiene los números entre n² y (n+1)². Es la conjetura de Legendre dibujada; Oppermann, Brocard y Andrica dicen lo mismo con otros grosores. Los cuadrados no tienen nada de especial: si el intervalo se recorre entre 1 y 99 lugares sí aparecen anillos vacíos, pero solo muy pequeños. El último es el anillo 6 recorrido 78 lugares, que cabe entero en el hueco entre los primos 113 y 127; del anillo 7 al 5 000 no hay ninguno.

2Una fórmula predice cuántos gemelos hay en cada anillo

Comprueba la predicción clásica para gemelos, la herramienta que usamos en casi todo lo demás.

Qué se ve

Contamos los pares de primos gemelos en los anillos del girasol y los comparamos con la fórmula de Hardy y Littlewood. En los anillos chicos el acierto es irregular (81 %), y al crecer se pega al 100 %. Pasa lo mismo con Sophie Germain, n² + 1 y Goldbach.

Por qué pasa

La fórmula trata a los primos como si fueran aleatorios con la densidad correcta y corrige por divisibilidad. Nadie la ha demostrado: si fuera cierta, habría infinitos gemelos. Que acierte anillo por anillo es evidencia a favor, no una prueba.

3Tres espirales van siempre rezagadas

Un sesgo real y medible entre espirales, explicado desde hace más de un siglo.

Qué se ve

Las 12 espirales que admiten primos no reciben los mismos. Las de los residuos 1, 4 y 16 son las tres con menos primos hasta un millón, y en promedio van por detrás de las otras nueve en todo el recorrido hasta 100 millones.

Por qué pasa

Es el sesgo de Chebyshev: los primos prefieren ligeramente los residuos que no son cuadrados, y 1, 4 y 16 son justo los cuadrados módulo 21. Es un fenómeno conocido y explicado suponiendo la hipótesis de Riemann generalizada; a la larga las doce espirales se reparten los primos por igual. Pasa con cualquier número de espirales: lo comprobamos con 3, 4, 5, 7, 8, 12, 13, 21, 30 y 34, y en todos van por delante los residuos no cuadrados, entre el 96 % y el 100 % del tiempo hasta 100 millones.

4A distancia 144, los primos se emparejan el doble

Liga las distancias entre vecinos del girasol con la fórmula de los pares de primos.

Qué se ve

En el girasol, los vecinos de una semilla están a un número de Fibonacci de distancia. Contamos cuántos pares de primos hay a cada distancia de Fibonacci par, comparados con los gemelos: a distancia 8 hay los mismos, a 34 un 7 % más, a 610 un 37 % más y a 144 el doble.

Por qué pasa

Lo predice la fórmula de Hardy y Littlewood: cada primo impar q que divide a la distancia multiplica los pares por (q − 1)/(q − 2). 144 es múltiplo de 3 (factor 2) y 610 de 5 y de 61 (factor 1.36). Hasta 100 millones, lo contado coincide con la fórmula con un error menor al 0.2 %. Por eso el recorrido cambia qué tan cerca quedan los primos: cada uno pone como vecinos a números con distancias distintas.

5Los primos de Sophie Germain caben en 6 espirales

Aritmética sencilla: se demuestra en unas líneas.

Qué se ve

Los primos p para los que 2p + 1 también es primo se alinean en apenas 6 rayos.

Por qué pasa

Ni p ni 2p + 1 pueden ser múltiplos de 3 o de 7. Eso deja 5 residuos módulo 21, más el del 3, que es la excepción.

6Los primos gemelos quedan pegados

Aritmética sencilla, de la misma familia que el anterior.

Qué se ve

Al escribir solo primos y llenar cada espiral completa antes de pasar a la siguiente, los gemelos aparecen en parejas de nodos contiguos.

Por qué pasa

Dos gemelos son vecinos en la lista de primos, y este recorrido pone a los vecinos de lista en semillas contiguas de la misma espiral.

7Los primos solo viven en 12 de las 21 espirales

Se explica solo con divisibilidad entre 3 y 7.

Qué se ve

Con el ángulo de 8/21 de vuelta cada espiral es un rayo. Los primos llenan unos rayos y dejan otros vacíos, salvo el 3 y el 7.

Por qué pasa

La espiral de un número depende de su residuo módulo 21. Un primo mayor que 7 no puede ser múltiplo de 3 ni de 7, y eso descarta 9 de los 21 residuos.

8Qué tan cerca quedan los primos depende del recorrido

Un resultado negativo: estar cerca en el girasol no cambia nada.

Qué se ve

Con el recorrido «En orden», cada primo tiene a su primo más cercano un 3 % más cerca que en un control con la misma densidad y los mismos residuos. Con «Siguiente» queda un 1 % más lejos, y con «Saltar uno» no hay diferencia clara.

Por qué pasa

En el girasol, los vecinos de una semilla están a un número de Fibonacci de distancia, y cada recorrido convierte esas distancias en diferencias distintas entre los números. Dos primos aparecen juntos más o menos a menudo según si su diferencia es múltiplo de 5: al pedirle al control que también evite los múltiplos de 5, la diferencia desaparece en los tres recorridos. Con los ángulos de Lucas y de plata los vecinos pasan a ser números de Lucas y de Pell, y el efecto baja a medio punto porcentual.